A geometria foi considerada uma ciência lógico-dedutiva, estabelecida sobre
bases sólidas, desde o século IV a.C., quando foram publicados os Elementos
de Euclides de Alexandria (c.325–265 a.C.). Esta obra foi tida como um
modelo de rigor e elegância na exposição durante mais de dois mil anos,
pois desenvolve o assunto enunciando uma série de postulados e, a partir
destes, demonstra logicamente todas as afirmações feitas. É a obra mais
publicada na história da humanidade, depois da Bíblia; dela foram feitas mais
de mil edições.
Já a aritmética foi estudada inicialmente desde um ponto de vista mais
ingênuo. Os inteiros positivos 1, 2, 3,… são tão comuns à nossa experiência,
que foram chamados de números naturais. Os matemáticos trabalharam com
eles sem sentir a necessidade de uma formalização rigorosa das idéias.
O mesmo não aconteceu com os inteiros negativos. Eles foram
relativamente bem aceitos na coletividade matemática graças às suas diversas
interpretações e usus práticos, como representando dívidas, ou como medidas
de temperaturas “abaixo de zero”, etc. Porém, as dúvidas quanto a sua
legitimidade apareceram em diversas ocasiões. Em 1543, Michael Stifel (1548–
1567) ainda os chamava de números absurdos e Girolamo Cardano (1501–1576),
um contemporâneo de Stifel, os considerava soluções falsas de uma equação.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS INTEIROS
A situação se agravou com a introdução dos números complexos no
século XVI, quando estes tornaram-se necessários para compreender certos
casos que aparecem na resolução de equações de terceiro grau. Eles foram
sendo aceitos aos poucos por causa de sua grande utilidade, tanto na
matemática com em algumas de suas aplicações.
Porém, as dúvidas quanto à sua legitimidade permaneceram e o próprio
Leonhard Euler (1707–1783), que os utilizara magistralmente em muitos de
seus trabalhos (vide pág. 103).
Nas primeiras décadas do século XIX, um grupo de matemáticos ingleses
tentou colocar a álgebra em bases tão sólidas quanto se considerava fossem as
da geometria. Para isso, eles tentaram compreender e explicitar “os axiomas
da álgebra”. George Peacock (1791–1858), no seu Tratise on Algebra, publicado
em 1830 e ampliado a dois volumes em 1845, destaca pela primeira vez
a importância das chamadas “leis formais”, que passam a desempenhar o
papel dos axiomas na álgebra. O seu contemporâneo e amigo, Augusto de
Morgan (1806–1871) assumiu uma atitude parecida na sua Trigonometry and
double algebra, publicada também em 1830. Com esta primeira tentativa de
axiomatização começa um longo processo em direção a álgebra abstrata.