Este livro é uma primeira introdução à teoria dos sistemas dinâmicos. Pode em particular servir de texto base auto-contido a uma disciplina correspondente ou servir para estudo independente. Pode também ser usado como ponto de partida para o estudo de tópicos mais avançados. A teoria dos sistemas dinâmicos é muito vasta, além de ser extremamente activa em termos de investigação. Foi por isso necessário fazer uma selecção cuidada do material, de modo a dar uma visão suficientemente alargada e ainda assim controlar o tamanho do texto, indicando bibliografia adicional para tópicos mais avançados. A exposição é directa e rigorosa. Em particular, todos os resultados apresentados no livro são demonstrados. Além disso, tentámos que cada demonstração fosse tão simples quanto possível. O texto inclui ainda muitos exemplos, que ilustram detalhadamente os novos conceitos e resultados, bem como exercícios no final de cada capítulo, com nível de dificuldade variável. Há diferenças importantes entre este livro e a larga maioria dos textos existentes na literatura (com nível análogo e com alguma intersecção de tópicos): a) demonstramos todos os resultados, o que frequentemente não acontece em textos introdutórios, apesar de isso não significar que as demonstrações são mais complicadas ou que exigem técnicas adicionais, necessitando sobretudo algum cuidado preparatório ou a restrição a classes apropriadas de sistemas dinâmicos, o que se justifica plenamente numa primeira abordagem; b) evitamos tópicos menos centrais, o que muitas vezes também não acontece em textos introdutórios, preferindo outros autores incluir tópicos adicionais, mesmo que de forma menos rigorosa ou menos detalhada, o que em nossa opinião é desajustadoa um texto base auto-contido e de tamanho controlado, podendo antes indicar-se literatura adicional para tópicos mais avançados.

T he book was written thinking to showed to the researchers in nonlinear generalized functions (or Colombeau’s full algebras) algebraic, topological, and analytical aspects of this area so important when we study nonlinear differential equations ordinary or/and partial. In order to make this, we develop the ring of Colombeau’s full generalized numbers; we endow these numbers of topology, the sharp scalar topology, and show some results of convergences. Next, we develop the sharp topology on the ring of the Colombeau’s full generalized functions, highlight that, the compact support is dense in this space of functions, and that this metric space is complete. With these topological results, we answer a boundary-initial value problem of the parabolic type what shown the efficacy of the theory developed.