Tópicos de Álgebra

A geometria foi considerada uma ciência lógico-dedutiva, estabelecida sobre bases sólidas, desde o século IV a.C., quando foram publicados os Elementos de Euclides de Alexandria (c.325–265 a.C.). Esta obra foi tida como um modelo de rigor e elegância na exposição durante mais de dois mil anos, pois desenvolve o assunto enunciando uma série de postulados e, a partir destes, demonstra logicamente todas as afirmações feitas. É a obra mais publicada na história da humanidade, depois da Bíblia; dela foram feitas mais de mil edições. Já a aritmética foi estudada inicialmente desde um ponto de vista mais ingênuo. Os inteiros positivos 1, 2, 3,… são tão comuns à nossa experiência, que foram chamados de números naturais. Os matemáticos trabalharam com eles sem sentir a necessidade de uma formalização rigorosa das idéias. O mesmo não aconteceu com os inteiros negativos. Eles foram relativamente bem aceitos na coletividade matemática graças às suas diversas interpretações e usus práticos, como representando dívidas, ou como medidas de temperaturas “abaixo de zero”, etc. Porém, as dúvidas quanto a sua legitimidade apareceram em diversas ocasiões. Em 1543, Michael Stifel (1548– 1567) ainda os chamava de números absurdos e Girolamo Cardano (1501–1576), um contemporâneo de Stifel, os considerava soluções falsas de uma equação. CAPÍTULO 1. NÚMEROS INTEIROS A situação se agravou com a introdução dos números complexos no século XVI, quando estes tornaram-se necessários para compreender certos casos que aparecem na resolução de equações de terceiro grau. Eles foram sendo aceitos aos poucos por causa de sua grande utilidade, tanto na matemática com em algumas de suas aplicações. Porém, as dúvidas quanto à sua legitimidade permaneceram e o próprio Leonhard Euler (1707–1783), que os utilizara magistralmente em muitos de seus trabalhos (vide pág. 103). Nas primeiras décadas do século XIX, um grupo de matemáticos ingleses tentou colocar a álgebra em bases tão sólidas quanto se considerava fossem as da geometria. Para isso, eles tentaram compreender e explicitar “os axiomas da álgebra”. George Peacock (1791–1858), no seu Tratise on Algebra, publicado em 1830 e ampliado a dois volumes em 1845, destaca pela primeira vez a importância das chamadas “leis formais”, que passam a desempenhar o papel dos axiomas na álgebra. O seu contemporâneo e amigo, Augusto de Morgan (1806–1871) assumiu uma atitude parecida na sua Trigonometry and double algebra, publicada também em 1830. Com esta primeira tentativa de axiomatização começa um longo processo em direção a álgebra abstrata.